《线性代数》课程教学大纲（中德班）
课程代码：[A301011]
课程名称：线性代数（Linear algebra）
学分/总学时：2学分/32学时（ 讲课学时：32 ）
课程类别：公共基础课
开课学期：一/二
适用专业：本科各专业
后续课程：专业课
课程负责人：郁大刚
一．课程目标
本课程是理、工、经、管各专业必修的一门基础理论课程。它以矩阵和向量为主要工具，讨论有限维空间的线性理论和方法。随着科学技术数学化和计算机的广泛应用，线性代数已成为现代科技和经济管理等各个领域中重要的思想方法和分析、计算工具。
本课程的目的是培养学生掌握线性代数的基本理论和基本方法，用矩阵方法处理有关问题的能力，为学习后继课程和进一步扩大数学知识面打下必要的基础。具体目标如下：
行列式与矩阵运算
了解行列式的定义，掌握行列式的性质，并正确使用它们计算行列式。理解
矩阵（及n维向量）的概念，熟练掌握加法、数乘、乘法及转置的运算规则，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的特点和性质。理解矩阵可逆的定义、充要条件，掌握逆矩阵的性质及逆矩阵与伴随矩阵的关系，了解Cramer法则。了解分块矩阵及其运算，掌握分块对角阵的运算。
矩阵的相抵与线性方程组
理解阶梯阵和行最简形矩阵的特点，掌握化矩阵为阶梯阵和行最简形矩阵的方法。了解矩阵的秩的概念，掌握其求法;了解矩阵的初等变换，知道矩阵的相抵（等价）和相抵标准形的概念;了解初等矩阵的定义和性质，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；了解矩阵可逆的各种充要条件。
理解线性方程组有解的充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条件。理解线性相关、线性无关以及线性表示、等价的定义及有关重要结论；理解向量组的极大无关组和秩的概念，掌握利用行初等变换求解极大无关组和秩的方法。理解线性方程组基础解系的定义和解的结构，理解非齐次线性方程组解的结构，掌握利用行初等变换求结构式通解的方法。
了解n维向量空间、基、维数、坐标等概念；知道ｎ维实向量的内积、正交
和正交向量组的概念和Schmidt正交化单位化方法；理解正交矩阵的定义，判别正交矩阵的充要条件。
矩阵的相似对角化与实二次型
理解矩阵特征值和特征向量的定义，了解有关性质，熟练掌握其求法；了解相似矩阵的概念、性质及矩阵与对角矩阵相似的充要条件和充分条件。了解实对称矩阵特征值、特征向量的性质；掌握实对称矩阵正交相似对角化的计算。理解实二次型的矩阵表示；熟练掌握用正交变换化简实二次型的方法；了解用初等变换法（或配方法）求可逆线性变换化简实二次型的方法。了解惯性定理及规范形的概念；知道实二次型或实对称矩阵正定、负定等的定义及其判别方法。
二．课程目标与教学内容和教学环节的关系
序号 | 课程目标 | 教学内容 | 教学环节 | |||
课堂教学 | 作业 | 实验 | 上机 | |||
1 | 行列式与矩阵运算 | 二阶与三阶行列式、n阶行列式的定义、行列式的性质与计算、矩阵的基本概念、矩阵的运算、逆矩阵、分块矩阵及其运算、 | + | + | ||
2 | 矩阵的相抵与线性方程组 | 矩阵的秩与矩阵的初等变换、初等变换求逆矩阵、线性方程组有解的判定与求解、向量组的极大无关组与秩、线性方程组的解的性质与解的结构 | + | + | ||
3 | 矩阵的相似对角化与实二次型 | 矩阵的特征值与特征向量、相似矩阵与矩阵的相似对角化、实对称矩阵的相似对角化、化二次型为标准形，二次型的正定性的判定 | + | + | ||
三、课程内容与学时分配
教学内容 | 讲 课 | 备注 |
行列式与矩阵运算 | 10 | |
矩阵的相抵与线性方程组 | 14 | |
矩阵的相似对角化与实二次型 | 8 | |
合计 | 32 |
四、教学方法
1、课堂授课时，采用多媒体教学与板书相结合的方式，便于学生理解与接受。练习课时，采取以学生练习为主，老师讲解为辅的方式，达到学生通过练习真正掌握知识点的目的。
2、充分利用网络交流实时强性的优点，开展网上答疑与辅导，提高教学效率。
3、注重教与学的互动，采用课后作业、作业反馈、不定期的课堂作业等多种方式了解学生的学习效果。
五、考核方式与成绩评定
课程的考核以考核学生对课程目标的达成为主要目的，以检查学生对教学内容的掌握程度为重要内容。课程成绩包括2个部分，分为平时成绩和期末成绩。
成绩评定方式如下表所示：
1．考核环节及要求、成绩比例
考核环节 | 分值 | 考核/评价细则 |
平时成绩 | 30 | 根据全部作业的得分再按30%计入总成绩 |
期末成绩 | 70 | 以卷面成绩的70%计入总成绩 |
2. 课程目标与课程考核环节的关系
序 号 | 课程目标 | 考核环节 | |
作业（ %） | 期末考试（ %） | ||
1 | 行列式与矩阵运算 | 30% | 30% |
2 | 矩阵的相抵与线性方程组 | 40% | 45% |
3 | 矩阵的相似对角化与实二次型 | 30% | 25% |
合计 | 100% | 100% | |
六、建议教材与教学参考书
《线性代数》 郁大刚主编 科学出版社 2016
《线性代数》 同济大学数学系编 高等教育出版社 2014 第六版
附件
作业评分标准表
考核内容 | A（90-100） | B（80-89） | C（70-79） | D（60-69） | E（<60） |
知识及概念 掌握程度 (权重 30%) | 知识及概念掌握全面，运用得当 | 知识及概念掌握较全面，能正确运用 | 知识及概念掌握较全面，能够运用，但没有考虑约束条件 | 知识及概念掌握程度一般，并不能正确运用 | 没有掌握知识及概念，不会运用公式 |
解题过程的 正确性、完 整性 (权重 70%) | 解题过程正确、完整，逻辑性强，答案正确率超过 90%，书写清晰 | 解题过程较正确、完整，逻辑性较强，答案正确率超过80%，书写清晰 | 解题过程基本正确、完整，答案正确率超过70% | 解题过程中存在错误，答案正确率超过 60% | 解题过程错误且不完整，答案正确率低于60% |
二、 课程试卷设计方案
序号 | 课程目标 | 考察点及占比（期末考试） | 备注 |
1 | 行列式与矩阵运算 | 二阶与三阶行列式的计算，n阶行列式的计算，矩阵的乘法运算，求逆矩阵，分块矩阵及其运算 | 题型：填空题、选择题、计算题、证明题 难度分为：容易、中等偏易、中等偏难 三个等次，其比例构成近似为 30：40： 30 |
2 | 矩阵的相抵与线性方程组 | 向量的线性相关性，极大线性无关组、线性方程组解的存在性的判断与求解，矩阵的秩，矩阵的相抵，矩阵的初等变换求逆矩阵，向量内积、正交、模、夹角，正交变换 | 题型：填空题、选择题、计算题、证明题 难度分为：容易、中等偏易、中等偏难 三个等次，其比例构成近似为 30：40： 30 |
3 | 矩阵的相似对角化与实二次型 | 矩阵的特征值与特征向量，矩阵的相似对角化，二次型的标准型、规范型，惯性定理 | 题型：填空题、选择题、计算题、证明题 难度分为：容易、中等偏易、中等偏难 三个等次，其比例构成近似为30：40： 30 |
执笔：俞美华 审核：郁大刚
2021.3.8